定义

【资料图】

定义13.在一条曲线中，一组平行弦的中点轨迹叫做直径(Diameter)

定义14.夹在直径与曲线之间的半弦称为此直径的【纵标线】

有些曲线的直径可能并不是直线，比如圆

命题命题13.抛物线外一点作关于抛物线的两条切线，从焦点看抛物线外一点和两切点，视角相等，而且有相似三角形

如图，F为抛物线外一点，E为抛物线之焦点，FH、FG是抛物线的两条切线，

就会有∠FEH = ∠FEG

而且△FEH ∽ △GEF

证明：

作抛物线顶点处切线，分别交两条切线于点J、K，然后连结J、E；K、E

由于FH、FG为抛物线之切线，因此有

EJ⊥LG

EK⊥EH   （命题10）

所以点F、J、E、K是共圆的

可得

∠KFE = ∠KJE

而且注意到顶点处的切线垂直于轴，而EJ又垂直于LG

因此由射影定理可得

∠KJE = ∠JLE = ∠FGE

整理得 ∠KFE = ∠FGE

同理可得 ∠FHE = ∠GFE

于是可证 △FEH ∽ △GEF

然后就有 ∠FEH = ∠FEG

证毕

命题14.抛物线的直径平行于轴

如图，Q为PO之中点，其运动轨迹为一条直线

证明：

过O、P两点作抛物线之切线

作一平行于PO的抛物线切线，与前两条切线交于交于点R、S，切于点M，过M作平行于轴的直线，与切线RP、SO分别交于点N和点N' (图中未标出)，与弦PO交于Q

接着连结点M、P

然后过R作轴的平行线交MP于点T

先讨论切线NP：

由于NQ是平行于抛物线的轴的，所以Q为弦PO的中点(命题12)

同理，点T是弦MP的中点

那么，RT为△NPM的中位线，R是线段NP的中点

已知 MR∥ PO，而且R是NP的中点

所以 NM = MQ

类似地，讨论切线N'O时(点N'在图中未标出)，也能得出 N'M = MQ

所以点N 点N' 是重合的

直线NM是确定的，我们已经知道，点Q是弦PO的中点

所以，所有平行于弦PO的弦的中点，都在一条平行于轴的直线上

证毕

命题15.如图，CD为直径FD的纵标线，CD延长交抛物线与点B，则有 EF = FD

证明：

过点F作抛物线之切线与点C处切线交于G，连结C、F

过G作关于轴的平行线交CF于H

具体证明跟命题14证法一样，这里不多赘述

证毕

本文完

往期文章

抛物线的几何性质（一）

抛物线的几何性质（二）

抛物线的几何性质（三）

明天又要返校，下次更新可能是3-5天后了，会抽出时间继续更下去的！

我在写这篇文章的时候就在想命题15和命题14是不是该调换下顺序，，，这样更好看懂一些

这篇似乎比往期文章的文字量都要大，手机端阅读可能会有点疲劳，希望有个不错的观看数吧……